Комплект для игры Го
Игра Го (Вейци, Бадук) в Сибири
Комплект для игры Го
  Rambler's Top100
6 1 8
7 5 3
2 9 4
  Магия, которая не только в игре Го  
2 9 4
7 5 3
6 1 8

Содержание:  
Магические квадраты  4 х 4
Магические квадраты  5 х 5
Магические квадраты  6 х 6
Магические квадраты  7 х 7

 Пока нет, но будут и другие МК

Из истории магических квадратов


С магическими квадратами в истории человечества связано много легенд и поверий. Так, в некоторых странах в старые времена построение магического квадрата с определенным сочетанием чисел рассматривалось как своеобразный амулет - для обладателя такого амулета судьба должна была быть благосклонной.

Магические квадраты, по-видимому, были изобретены в Китае примерно 3-4 тысячи лет назад (близко к возрасту Го). По крайней мере, самый первый магический квадрат 3х3 (см. заголовок страницы) известен в Китае именно с тех времен.

Известна также легенда о магическом квадрате 8х8 - на шахматной доске. Этот квадрат по легенде был связан с одной исторической шахматной партией.
7 73 31
61 37 13
43 1 67
Многие очень известные ученые и изобретатели занимались магическими, а также латинскими и греческими квадратами. Известный изобретатель головоломок и выдающийся шахматный композитор Ллойд считается автором минимального магического квадрата, составленного из простых чисел, который Вы видите здесь. Его "магическая сумма" поистине может считаться таковой: это число 111!

Много интересного можно узнать о магических квадратах при внимательном изучении. Вот, например, попробуйте найти центр тяжести МК, считая числа в клетках соответствующими весами. Решение прямым методом можно найти, если суммировать произведения весов на радиус-векторы квадратиков, взяв за точку отсчета предполагаемый центр масс. Для истинного центра масс эта сумма равна нулевому вектору (суммарный момент силы тяжести должен быть равен нулю). Очевидно, что это громоздкий и совсем не наглядный способ. Есть очень простое решение, основанное на магических свойствах квадрата и механических соображениях.

Если рассматривать произвольные подмножества натуральных чисел, а не только последовательно растущие от 1, то можно получать сколько угодно МК из уже построенного, умножая все числа на одно и то же целое число и прибавляя другое фиксированное целое число.
©2003, C.B.Павлов, B.Н.Наумов


       Магия в квадрате
Всем известно выражение: "Магия Го" (так, в частности, называется книга выдающегося современного мастера Чё Чикуна, ссылку см. на стр. "Обучение"). Но магия есть не только в игре Го. Вот один из самых известных примеров.

Магическим квадратом (МК) порядка N называется таблица N x N, составленная из последовательных натуральных чисел 1, 2, ... , NxN, обладающая "магическим" свойством: суммы чисел во всех горизонтальных, вертикальных рядах, а также в двух диагоналях, одинаковы. Это классическое определение МК. Рассматриваются также и более общие МК, когда числа берутся из некоторого подмножества натуральных чисел (простые числа, например). Известно, что МК 2-го порядка не существует. МК 3х3, с точностью до зеркальных отражений и вращений (8 эквивалентных вариантов) - только один (не помните, где вы его только что видели?).
       Магические квадраты  4 х 4
МК порядка 4 существует 880 (это число впервые было получено с помощью примитивного перебора на компьютере). Проблема в математическом плане не решена до сих пор: нет универсального алгоритма построения магических квадратов любых порядков, определить число существующих МК для произвольно заданного порядка тоже пока невозможно в явном виде. Одним из авторов данной странички (С.Павлов) была получена рекуррентная формула для вычисления числа МК, но она слишком сложна и не поддается прямому анализу. Ясно, что это число имеет факториальный характер роста, так как число всевозможных вариантов расстановки чисел - "позиций" равно факториалу NxN. В этом есть сходство с игрой Го, так как число возможных вариантов партий на доске NxN тоже растет как (NxN)! - факторил квадрата соответствующего размера доски. И симметрия в Го такая же - 8 возможных вариантов позиций, принципиально не отличающихся друг от друга.

16 2 7 9
3 13 12 6
10 8 1 15
5 11 14 4
А теперь посмотрим, что такое МК в "натуре". Составить "вручную", без специальной компьютерной программы, даже МК 4х4 - задача не из легких (можете попробовать и засечь время - за сколько минут, а может часов, Вам это удастся сделать). Вот пример одного из МК 4х4, с "супермагическим" свойством (кроме обычной "магичности" здесь еще ту же самую магическую сумму "34" имеют и все маленькие квадраты 2х2).
       Магические квадраты  5 х 5
Посмотрим на некоторые МК 5х5 (магическая сумма равна 65). Сможете ли Вы восстановить недостающие числа в двух из трех приведенных МК?
6 22 8 24 5
10 19 18 17 1
12 15 13 11 14
16 2 23 4 20
21 7 3 9 25
1 21 4 ? 15
10 14 8 ? 16
23 19 ? 7 3
20 9 18 12 6
11 2 22 5 ?
? 2 20 14 ?
22 23 ? ? 1
? 11 13 15 ?
25 ? 16 ? 4
5 ? ? 24 18
       Магические квадраты  6 х 6
29 9 4 33 16 20
7 32 3 10 23 36
6 1 35 26 30 13
24 34 11 2 18 22
28 14 27 25 5 12
17 21 31 15 19 8
А вот пример МК порядка 6. Данный МК был построен с помощью изобретенного рекуррентного алгоритма, позволяющего получать МК практически любых порядков из уже построенных МК меньшего порядка (автор алгоритма - С.Павлов; в данном случае использовались МК порядка 3). Магическое число этого квадрата, как и любых других классических МК порядка 6, равно 111.

       Магические квадраты  7 х 7
37 49 12 19 3 9 46
10 36 48 27 8 45 1
47 11 35 29 44 2 7
28 20 22 25 30 26 24
16 38 6 21 15 39 40
32 4 18 23 42 13 43
5 17 34 31 33 41 14
Этот МК порядка 7 также был построен с помощью упомянутого выше рекуррентного алгоритма с использованием МК порядка 3. Магическое число этого квадрата, как и любых других классических МК порядка 7, равно 175. МК большего порядка уже слишком трудоемко строить "в ручную", даже имея рекуррентный алгоритм. Поэтому, во многом благодаря участию в "проекте" Виктора Наумова, были разработаны некоторые компьютерные программы, облегчающие этот труд.

       продолжение следует...
 
       Вернуться к началу

Наверх
Поддержите наш сайт в каталоге ресурсов НГС! Rambler's Top100 Главная (index) Рейтинг@Mail.ru Поддержите наш сайт в каталоге ресурсов НГС!
Наверх
Играй на joycasino . Играй и получай профит вулкан-платинум.рф
Hosted by uCoz