Содержание:
|
|
|
|
Из истории магических квадратов
С магическими квадратами в истории человечества связано много легенд и поверий. Так, в некоторых странах в старые времена построение магического квадрата с определенным сочетанием чисел рассматривалось как своеобразный амулет - для обладателя такого амулета судьба должна была быть благосклонной.
Магические квадраты, по-видимому, были изобретены в Китае примерно 3-4 тысячи лет назад (близко к возрасту Го). По крайней мере, самый первый магический квадрат 3х3 (см. заголовок страницы) известен в Китае именно с тех времен.
Известна также легенда о магическом квадрате 8х8 - на шахматной доске. Этот квадрат по легенде был связан с одной исторической шахматной партией.
|
Многие очень известные ученые и изобретатели занимались магическими, а также латинскими и греческими квадратами. Известный изобретатель головоломок и выдающийся шахматный композитор Ллойд считается автором минимального магического квадрата, составленного из простых чисел, который Вы видите здесь. Его "магическая сумма" поистине может считаться таковой: это число 111!
Много интересного можно узнать о магических квадратах при внимательном изучении. Вот, например, попробуйте найти центр тяжести МК, считая числа в клетках соответствующими весами. Решение прямым методом можно найти, если суммировать произведения весов на радиус-векторы квадратиков, взяв за точку отсчета предполагаемый центр масс. Для истинного центра масс эта сумма равна нулевому вектору (суммарный момент силы тяжести должен быть равен нулю). Очевидно, что это громоздкий и совсем не наглядный способ. Есть очень простое решение, основанное на магических свойствах квадрата и механических соображениях.
Если рассматривать произвольные подмножества натуральных чисел, а не только последовательно растущие от 1, то можно получать сколько угодно МК из уже построенного, умножая все числа на одно и то же целое число и прибавляя другое фиксированное целое число.
|
|
|
|
|
|
|
 Магия в квадрате
| |
Всем известно выражение: "Магия Го" (так, в частности, называется книга выдающегося современного мастера Чё Чикуна, ссылку см. на стр. "Обучение"). Но магия есть не только в игре Го. Вот один из самых известных примеров.
Магическим квадратом (МК) порядка N называется таблица N x N, составленная из последовательных натуральных чисел 1, 2, ... , NxN, обладающая "магическим" свойством: суммы чисел во всех горизонтальных, вертикальных рядах, а также в двух диагоналях, одинаковы. Это классическое определение МК. Рассматриваются также и более общие МК, когда числа берутся из некоторого подмножества натуральных чисел (простые числа, например). Известно, что МК 2-го порядка не существует. МК 3х3, с точностью до зеркальных отражений и вращений (8 эквивалентных вариантов) - только один (не помните, где вы его только что видели?).
| |
|
Магические квадраты 4 х 4
|
МК порядка 4 существует 880 (это число впервые было получено с помощью примитивного перебора на компьютере). Проблема в математическом плане не решена до сих пор: нет универсального алгоритма построения магических квадратов любых порядков, определить число существующих МК для произвольно заданного порядка тоже пока невозможно в явном виде. Одним из авторов данной странички (С.Павлов) была получена рекуррентная формула для вычисления числа МК, но она слишком сложна и не поддается прямому анализу. Ясно, что это число имеет факториальный характер роста, так как число всевозможных вариантов расстановки чисел - "позиций" равно факториалу NxN. В этом есть сходство с игрой Го, так как число возможных вариантов партий на доске NxN тоже растет как (NxN)! - факторил квадрата соответствующего размера доски. И симметрия в Го такая же - 8 возможных вариантов позиций, принципиально не отличающихся друг от друга.
| 16 |
2 |
7 |
9 |
| 3 |
13 |
12 |
6 |
| 10 |
8 |
1 |
15 |
| 5 |
11 |
14 |
4 |
|
А теперь посмотрим, что такое МК в "натуре". Составить "вручную", без специальной компьютерной программы, даже МК 4х4 - задача не из легких (можете попробовать и засечь время - за сколько минут, а может часов, Вам это удастся сделать). Вот пример одного из МК 4х4, с "супермагическим" свойством (кроме обычной "магичности" здесь еще ту же самую магическую сумму "34" имеют и все маленькие квадраты 2х2).
| |
|
Магические квадраты 5 х 5
|
Посмотрим на некоторые МК 5х5 (магическая сумма равна 65). Сможете ли Вы восстановить недостающие числа в двух из трех приведенных МК?
| 6 |
22 |
8 |
24 |
5 |
| 10 |
19 |
18 |
17 |
1 |
| 12 |
15 |
13 |
11 |
14 |
| 16 |
2 |
23 |
4 |
20 |
| 21 |
7 |
3 |
9 |
25 |
|
| 1 |
21 |
4 |
? |
15 |
| 10 |
14 |
8 |
? |
16 |
| 23 |
19 |
? |
7 |
3 |
| 20 |
9 |
18 |
12 |
6 |
| 11 |
2 |
22 |
5 |
? |
|
| ? |
2 |
20 |
14 |
? |
| 22 |
23 |
? |
? |
1 |
| ? |
11 |
13 |
15 |
? |
| 25 |
? |
16 |
? |
4 |
| 5 |
? |
? |
24 |
18 |
|
| |
|
Магические квадраты 6 х 6
|
| 29 |
9 |
4 |
33 |
16 |
20 |
| 7 |
32 |
3 |
10 |
23 |
36 |
| 6 |
1 |
35 |
26 |
30 |
13 |
| 24 |
34 |
11 |
2 |
18 |
22 |
| 28 |
14 |
27 |
25 |
5 |
12 |
| 17 |
21 |
31 |
15 |
19 |
8 |
|
А вот пример МК порядка 6. Данный МК был построен с помощью изобретенного рекуррентного алгоритма, позволяющего получать МК практически любых порядков из уже построенных МК меньшего порядка (автор алгоритма - С.Павлов; в данном случае использовались МК порядка 3). Магическое число этого квадрата, как и любых других классических МК порядка 6, равно 111.
| |
|
Магические квадраты 7 х 7
|
| 37 |
49 |
12 |
19 |
3 |
9 |
46 |
| 10 |
36 |
48 |
27 |
8 |
45 |
1 |
| 47 |
11 |
35 |
29 |
44 |
2 |
7 |
| 28 |
20 |
22 |
25 |
30 |
26 |
24 |
| 16 |
38 |
6 |
21 |
15 |
39 |
40 |
| 32 |
4 |
18 |
23 |
42 |
13 |
43 |
| 5 |
17 |
34 |
31 |
33 |
41 |
14 |
|
Этот МК порядка 7 также был построен с помощью упомянутого выше рекуррентного алгоритма с использованием МК порядка 3. Магическое число этого квадрата, как и любых других классических МК порядка 7, равно 175. МК большего порядка уже слишком трудоемко строить "в ручную", даже имея рекуррентный алгоритм. Поэтому, во многом благодаря участию в "проекте" Виктора Наумова, были разработаны некоторые компьютерные программы, облегчающие этот труд.
| |
|
продолжение следует...
|
|
|
Вернуться к началу
| |
